上級ハムの国試問題をうだうだ解くコーナー 第2弾


平成27年12月1アマの無線工学から、めんどくさそうな問題を抜粋        AEGの部屋に戻る

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A-3 
図に示す直流回路において、直流電流I₁の値が3〔mA〕のとき、直流電圧V₃の値として、正しいものを下の番号から選べ。 






















1 2〔V〕
2 3〔V〕
3 4〔V〕
4 6〔V〕
5 8〔V〕


国試に出題される定番の問題です。
キルヒホッフの法則を使います。 覚えていますか?
筆者も正しい文言を覚えていないのでCQ出版社の「上級ハムになる本」を引っぱり出しました。

それによると、
キルヒホッフの第1法則
「回路網の任意の1点に流入する電流の代数和は零である。」
<図1>
















交差点に入ってくる電流をプラス、出ていく電流をマイナスとすれば、入ってくる電流の合計と出ていく電流の合計を足せば零になる。
A+B+C=0
上図は3差路ですが4差路でも5差路でも同じ。 これはどこか途中で電流が漏れ出さなければA+B=Cであることは容易に分かります。


問題なのは

キルヒホッフの第2法則
「回路中の任意の閉路において、各部分の電圧降下の代数和は、その閉路に含まれる起電力の代数和に等しい。」

堅苦しくて何を言いたいのか分かりません。 そう…。**の法則の文句は大抵そのままでは理解しにくいのです。
だから自分なりの文章を作り直さないまでも、漠然と何を言っているのかを理解していることは大切です。

さらに、問題には記号の説明に「
直流電圧」とあります。
昔、豆電球を使った学校の実験では乾電池を使っていたのでこの記号を見ると「
電池」をイメージする方も多いと思います。
キルヒホッフの法則には
起電力」とあります。個人的には「直流電源」といつも言っています。
学者や専門家の間では正しい用語があるのでしょうけれど、この場合
皆同じものとして理解しておいてかまいません

まず、「閉路」と「電圧降下」分かりますか?

「閉路」どこを閉路というのか?

<図2>

赤も「閉路」、緑も「閉路」、青も「閉路」です。回路の中でぐるりと1週回ってスタート地点に戻るように閉じている所。途中で折り返す復路があるのは閉路ではありません。
青は途中に分岐があるから一見閉路ではない?と思われがちですが、V₂のある真ん中の列とV₃のある右の列は縦の部分をまるごと並べ替えてみると(図3)青も閉路であることが分かります。

もちろん図3における赤も閉路です。

<図3>

再び図4をご覧ください。
I
₁、I₂、I₃ 
の矢印の方向は一見、直流電源の方向からすべて上向きにしたくなりますが(それはないです!集まった電流は行き場がなくなります?HI)
また、電源の向きからプラス極からマイナス極へは流れないのでは?と思いたくもなります。でも場合によっては逆に流れます。

 電流の方向はとりあえず、便宜的に(第1法則に則って)決めます。
図2や図3に示したようにI₂、I₃の電流の方向を便宜的に下向きにして第1法則の I₁=I₂+Iが成立するように方向を付けます。
(実際はこの向きではないかもしれないけれど、かまわない)
そして
便宜的電流の方向に対し逆さに付いている電源電圧はマイナスにします
この「便宜的」が気持ちの中で割り切れないと難しく感じると思います。 

 良く誤解されるのは、R₁の下にV₁の12Vの電源があるので、この電源ばかりが気になりますが、他にも2か所に電源があり、抵抗もR₁以外にR、R₃があるので全体を見ていかないとR₁の電圧降下はわかりません。
電圧降下と言う名前は抵抗が入ることによってそこで電圧が下がるからそう呼ばれるのでしょうかね?


 「電圧降下」
「電圧降下」例えば上のR₁に電流が流れるとR₁の両端に電位差(※)ができます。この電圧はR₁に何アンペア流れているかで決まってきます。(オームの法則 E=RIで計算できます)
余談ですが、電源が入った状態でR₁の前後をテスターで電圧の測定すれば**Vと出ます。この値が電圧降下です。
電圧と電圧降下は単位に同じ「V (ボルト)」を使いますが意味が違います。
こういう似た用語の解釈が、学問っぽくて面倒くさいです。

 ※「電位差」・・・これも専門用語っぽくて「電圧」とどこが違うのか?疑問に思うところです。
自分で書いておいて??が次々出てきてきりがありません。

例えば2点間おいて電圧を測定したら何ボルトか出たとき、その2点間には電位差がある。と言います。
0Vだったら電位差はない。と言います。
電位差があっても電流が流れるか否かはそこに流れる道があるかで決まります。
ちなみにAB間に1MΩの抵抗を置いても流れます。
(どれくらい流れるかは他との相関関係で決まります。)
試験における回路図では線のないところは無限大の絶縁体という解釈です。

このことの理解が結構大事だったりして・・・

寄り道をしてしまいました。先に進みます。

ここからが解くための説明
<図4>

問題で求めなければならないのはVの電圧ですが、まず図の中の情報から
計算で、何が分かるかを求めていき、
一つ一つ計算しながらゴールを目指します。

まずオームの法則※※とキルヒホッフの第2法則を使います。
図4
赤い閉路の中で分かること。 まずR₁の電圧降下(ここではE₁とします)を求める。

ポイント:赤の閉路と緑の閉路を同時に考えないこと!
I₂の電流の向きって下なの?上なの?と混乱するからです。くどいですが計算で答えが出るまでは、「便宜的」です。
赤だけを見る!緑だけを見る!と割り切ってください。

以降、同様にR₂の電圧降下をE₂、R₃の電圧降下をE₃とします。

I₁は3mA(0.003A)なので
0.003〔A〕=E₁/2000〔Ω〕
(オームの法則)
E₁=0.003/2000
E₁=6  
R₁の電圧降下E₁は6〔V〕
 

赤の閉路の起電力の代数和は時計回りに12〔V〕-6〔V〕=6〔V〕 
V₂の起電力は時計回りに電流追い掛けると逆さに付いているのでマイナスにする。
赤の閉路の電圧降下の代数和はE₁+E₂ 
R₁の電圧降下が6〔V〕だから 
第2法則により 起電力の代数和(12-6)6〔V〕=(E₁)6+ER₂の電圧降下)
E₂=6-6
 =0
R₂の電圧降下E₂は0〔V〕
<図4>
 
R₂の電圧降下E₂は0〔V〕ならば
オームの法則により
R₂に
流れる電流I₂は 
I₂=0〔V〕
(E₂)/3k〔Ω〕R₂)
I₂=0〔A〕
・・・I₂には電流が流れない。
そうです!Iは便宜的に電流を下向きにつけましたが、実際は流れていませんでした。でもこれでいいのです!
便宜的とはそういうものです。


第1法則により、I₁=3mA、I₂=0〔A〕 なので 
Aの分岐では
I₁+I₂=I₃ から
0.003+0=0.003 
I₃=3m〔A〕
オームの法則により
R₃の電圧降下はI₃=E₃/R
0.003〔A〕
I₃)=E₃/1000〔Ω〕R₃)
E₃=
3〔V〕
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
図4
緑の閉路も便宜的に時計回りに流れていると仮定して閉路内の起電力と電圧降下を計算します。
これも、上記にあるようにIには電流が流れないことがすでに分かっていても便宜的に方向づけしてから計算する。

緑の閉路の起電力の総和はV₂6〔V〕
-V
(起電力Vは見立てている電流の方向からは逆さに付いているのでマイナスにする
緑の電圧降下の代数和はE₂+E₃ 
0〔V〕+3〔V〕=3〔V〕
第2法則により
6〔V〕-V₃=0〔V〕+3〔V〕
-V₃=3〔V〕-6〔V〕
-V₃=-3〔V〕
V₃=3〔V〕

よって正解は2番

念のために
図2

図2の大外回りのの閉路でも計算してみましょう。
R₃の電圧降下E₃を求めるところまで(ここからが解くための説明 から ・・・・・・・・ )は同じです。

R₁の電圧降下をE₁ 同様にR₂をE₂、R₃をE₃とすると、
第2法則により
V₁+V₃=E₁+E₃
12〔V〕+(
-V₃)=6〔V〕R₁の電圧降下)+3〔V〕R₂の電圧降下)
V₃の起電力は見たての電流の方向に対し逆についているので
マイナスにする
-V₃=9〔V〕-12〔V〕
-V₃=-3〔V〕
V₃=3〔V〕
当たり前ですが答えは同じになります。

正解は2番

結果、答えとは関係ありませんが問題の回路の流れる電流の方向は青の向きで、I₂ には電圧のバランスが保たれて電流が流れないことが分かりました。



※※
いまさら聞けない電気理論の基礎Ⅱ
オームの法則

式は
E=RI 
Eは電圧、Rは抵抗 Iは電流

個人的には I=E/R の方がピンときます。
(分子の)電圧を高くすると電流が増えて、(分母の)抵抗を大きくすると電流が減る。
回路における電圧、抵抗、電流の関係を表しています。
まさか、この基本がわからないで上級を目指す方はいらっしゃらないと思いますが・・・
完全に丸暗記で来られた方は、ここではこれ以上説明しませんので是非電気の基礎から勉強することをお勧めします。


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